# Mesures de risque : VaR, TVaR et cohérence Sciences actuarielles · Master 2 > Value-at-Risk, Tail-VaR, axiomes de cohérence et lien avec Solvabilité II et le SST. ## Introduction Une mesure de risque associe à une perte aléatoire X un nombre ρ(X), utilisé pour fixer des exigences de capital ou des limites. La Value-at-Risk au niveau α est le quantile VaR_α(X) = inf{x : P(X ≤ x) ≥ α}. Elle répond à la question : quelle perte n'est dépassée qu'avec probabilité 1 - α ? La Tail-VaR (ou expected shortfall), TVaR_α(X) = (1/(1-α)) ∫_α^1 VaR_u(X) du, est la moyenne des pertes au-delà de la VaR et tient donc compte de la gravité des pires scénarios. Selon Artzner et al., une mesure est cohérente si elle satisfait la monotonie, l'invariance par translation, l'homogénéité positive et la sous-additivité (ρ(X+Y) ≤ ρ(X) + ρ(Y)), qui traduit l'effet de diversification. La VaR n'est pas sous-additive en général, ce qui est un défaut conceptuel ; la TVaR est cohérente. Sur le plan réglementaire, Solvabilité II retient la VaR à 99,5 % sur un an, alors que le Swiss Solvency Test (SST), appliqué par la FINMA aux assureurs suisses, utilise le Tail-VaR (expected shortfall) à 99 % sur un an. ## Objectifs d'apprentissage - Définir VaR et TVaR et les calculer pour une loi simple - Énoncer les quatre axiomes de cohérence - Montrer par un exemple que la VaR peut violer la sous-additivité - Comparer les approches de Solvabilité II et du SST - Interpréter la diversification en termes de mesure de risque ## Concepts clés - **Value-at-Risk** : VaR_α(X) est le quantile d'ordre α de la perte. Avec α = 99 %, la perte dépasse la VaR dans seulement 1 % des cas. Elle ne dit rien de l'ampleur des pertes au-delà du seuil. - **Tail-VaR** : TVaR_α(X) = E[X | X ≥ VaR_α] pour les lois continues. Elle est toujours supérieure ou égale à la VaR de même niveau et rend compte de la queue de distribution. - **Mesures cohérentes** : Artzner et al. : monotonie (X ≤ Y ⇒ ρ(X) ≤ ρ(Y)), invariance par translation (ρ(X+a) = ρ(X)+a), homogénéité positive (ρ(kX) = kρ(X)) et sous-additivité (ρ(X+Y) ≤ ρ(X)+ρ(Y)). - **Défaut de la VaR** : La VaR peut violer la sous-additivité : fusionner deux portefeuilles peut sembler augmenter le risque. Un exemple classique utilise deux risques avec une probabilité de défaut inférieure à 1 - α, chacun de VaR nulle, mais dont la somme a une VaR positive. - **Cadre réglementaire** : Solvabilité II (UE) exige un capital de solvabilité requis calibré sur la VaR à 99,5 % sur un an. Le SST suisse mesure le capital cible comme l'expected shortfall à 99 % de la variation de capital porteur de risque sur un an, sous supervision de la FINMA. ## Conclusion VaR et TVaR répondent à des questions différentes : seuil de perte et gravité de la queue. La cohérence fournit des critères théoriques pour choisir une mesure. Le contraste entre Solvabilité II (VaR) et SST (expected shortfall) illustre comment ces choix se traduisent en exigences de capital. ## Cartes ### Qu'est-ce que la VaR_α ? Le quantile d'ordre α de la perte : seuil dépassé avec probabilité 1 - α. ### Qu'est-ce que la TVaR_α ? La moyenne des pertes au-delà de la VaR : (1/(1-α))∫_α^1 VaR_u du. ### Que mesure la TVaR que la VaR ne mesure pas ? L'ampleur moyenne des pertes dans la queue de distribution. ### Quelle relation entre VaR_α et TVaR_α ? TVaR_α ≥ VaR_α. ### Quels sont les axiomes de cohérence ? Monotonie, invariance par translation, homogénéité positive, sous-additivité. ### Que signifie la sous-additivité ? ρ(X+Y) ≤ ρ(X)+ρ(Y) : la diversification ne doit pas augmenter le risque. ### La VaR est-elle une mesure cohérente ? Non en général : elle peut violer la sous-additivité. ### La TVaR est-elle cohérente ? Oui, elle satisfait les quatre axiomes. ### Quelle mesure utilise le SST ? L'expected shortfall (TVaR) à 99 % sur un an. ### Quelle mesure sous-tend le SCR de Solvabilité II ? La VaR à 99,5 % sur un an. ### Pour X ~ N(0,1), que vaut VaR_99% environ ? Environ 2,33 (quantile de la loi normale standard à 99 %). ## Glossaire - **Value-at-Risk** : Quantile de la loi de perte, utilisé comme seuil de perte. - **Tail-VaR / Expected shortfall** : Perte moyenne conditionnelle au dépassement de la VaR. - **Mesure cohérente** : Mesure de risque satisfaisant les quatre axiomes d'Artzner et al. - **Sous-additivité** : ρ(X+Y) ≤ ρ(X)+ρ(Y), reflet de la diversification. - **Swiss Solvency Test** : Régime suisse de solvabilité fondé sur le risque, supervisé par la FINMA. - **Capital économique** : Fonds propres nécessaires pour absorber les pertes à un niveau de confiance donné. https://ruvy.ch/decks/-P5CTb2Bi-d_edeBmhJ-