Tarification non-vie : fréquence, sévérité et GLM

Sciences actuarielles · Master 1

Prime pure = fréquence × coût moyen, modèles linéaires généralisés et segmentation tarifaire.

Introduction

En assurance dommages, l'assureur ne connaît pas à l'avance le nombre ni le coût des sinistres d'un contrat, mais il peut estimer leur espérance à partir de statistiques. La prime pure d'un risque est l'espérance des charges de sinistres sur la période : E[S] = E[N] · E[X] si le nombre de sinistres N et le coût moyen X sont indépendants.

La tarification moderne décompose donc le problème en deux modèles : la fréquence (nombre de sinistres par unité d'exposition, souvent une loi de Poisson) et la sévérité (coût d'un sinistre, souvent une loi Gamma ou lognormale). Les modèles linéaires généralisés (GLM) avec lien logarithmique conduisent à des tarifs multiplicatifs : prime = base × facteur(âge) × facteur(région) × facteur(véhicule).

La segmentation permet de limiter l'antisélection mais soulève des questions d'équité et de mutualisation, et elle est encadrée par le droit. La prime commerciale s'obtient en ajoutant à la prime pure des chargements pour frais d'acquisition et de gestion, pour sécurité (aléa) et pour bénéfice.

Objectifs d'apprentissage

Décomposer la prime pure en fréquence et sévérité
Choisir une loi adaptée à chaque composante et justifier le lien logarithmique
Interpréter les coefficients d'un GLM multiplicatif
Expliquer le rôle de l'exposition et de l'offset
Décrire les composantes de la prime commerciale et les limites de la segmentation

Concepts clés

Modèle fréquence-sévérité: La charge totale S = X1 + ... + XN est modélisée par un nombre N de sinistres et des coûts individuels Xi. Sous indépendance et équidistribution, E[S] = E[N]·E[X]. On estime séparément la fréquence et le coût moyen, ce qui améliore la lisibilité et la stabilité.
Exposition: La fréquence est rapportée à l'exposition, par exemple les années-véhicules : un contrat couvert six mois pèse la moitié. Dans un GLM de Poisson, on intègre l'exposition en offset logarithmique.
GLM et tarif multiplicatif: Un GLM relie l'espérance à des variables explicatives par une fonction de lien. Avec le lien log, E[Y] = exp(β0 + β1x1 + ...), soit un produit de facteurs positifs. Le tarif est ainsi lisible et ne peut devenir négatif.
Choix des lois: La loi de Poisson (ou binomiale négative en cas de surdispersion) convient au nombre de sinistres ; la loi Gamma à des coûts positifs asymétriques. Les très gros sinistres sont souvent traités séparément (écrêtement).
Prime commerciale et segmentation: Prime commerciale = prime pure + chargement de sécurité + frais d'acquisition et de gestion + marge. La segmentation réduit l'antisélection mais trop de critères fragmente le portefeuille et peut être contraire à la volonté de mutualisation ou à la loi.

Conclusion

Fréquence, sévérité et GLM forment le socle de la tarification dommages. La rigueur est dans l'exposition, la validation et la prise en compte des gros sinistres.

La segmentation est un équilibre entre précision, mutualisation et acceptation sociale.

Cartes

Que vaut la prime pure en non-vie ?: E[S] = E[N]·E[X] sous indépendance entre nombre et coût des sinistres.
Qu'est-ce que la fréquence ?: Le nombre de sinistres rapporté à l'exposition (par exemple par année-véhicule).
Qu'est-ce que la sévérité ?: Le coût moyen d'un sinistre, une fois survenu.
Quelle loi modélise naturellement le nombre de sinistres ?: La loi de Poisson ; la binomiale négative si les données montrent de la surdispersion.
Quelle loi modélise couramment les coûts de sinistre ?: La loi Gamma ou lognormale, positives et asymétriques à droite.
Pourquoi choisir un lien logarithmique ?: Il garantit des valeurs positives et donne un tarif multiplicatif lisible.
Qu'est-ce qu'un offset ?: Un terme connu (ln de l'exposition) ajouté au prédicteur linéaire pour modéliser une fréquence par unité d'exposition.
Que signifie la surdispersion ?: Une variance supérieure à la moyenne, incompatible avec un Poisson pur : on choisit alors une binomiale négative ou un modèle quasi-Poisson.
Qu'est-ce que l'antisélection ?: Les mauvais risques s'assurent plus volontiers si la prime ne les distingue pas des bons risques.
Quels éléments composent la prime commerciale ?: Prime pure, chargement de sécurité, frais d'acquisition et de gestion, marge bénéficiaire.

Glossaire

Exposition: Mesure de la durée de couverture d'un risque, base de calcul de la fréquence.
Fréquence: Nombre de sinistres par unité d'exposition.
Sévérité: Coût moyen d'un sinistre.
GLM: Modèle linéaire généralisé reliant l'espérance d'une variable à des covariables par une fonction de lien.
Surdispersion: Variance supérieure à celle prévue par le modèle, typiquement un Poisson.
Chargement de sécurité: Majoration de la prime pure couvrant l'aléa de la charge de sinistres.