Provisionnement non-vie : triangles et chain-ladder

Sciences actuarielles · Master 2

Triangles de développement, méthode chain-ladder, IBNR et incertitude du provisionnement.

Introduction

En assurance dommages, un sinistre survenu une année peut être déclaré tardivement et réglé plusieurs années après. L'assureur doit donc estimer les montants qu'il paiera encore pour des sinistres déjà survenus : ce sont les provisions pour sinistres à payer, qui incluent les sinistres connus non réglés (case reserves) et les sinistres survenus mais non encore déclarés (IBNR).

Les données sont présentées en triangle de développement : les lignes sont les années de survenance, les colonnes les années de développement, et chaque cellule contient les paiements (ou charges) cumulés. La méthode chain-ladder suppose que les cumuls évoluent d'une année de développement à la suivante selon des facteurs multiplicatifs stables : fj = Σ C(i,j+1) / Σ C(i,j), sommés sur les années disponibles.

La méthode donne la charge ultime de chaque année de survenance puis la provision par différence avec les paiements déjà effectués. Elle est instable pour les années récentes peu développées ; la méthode Bornhuetter-Ferguson combine alors une estimation a priori et l'évolution observée. Le modèle de Mack fournit une erreur quadratique de prédiction.

Objectifs d'apprentissage

Construire et lire un triangle de développement cumulé
Calculer les facteurs de développement et la charge ultime par chain-ladder
Déduire la provision IBNR et la provision totale
Expliquer les limites de chain-ladder et l'intérêt de Bornhuetter-Ferguson
Décrire le rôle du modèle de Mack

Concepts clés

Triangle de développement: Les paiements cumulés C(i,j) sont classés par année de survenance i et année de développement j. Seule la partie supérieure du triangle est observée ; l'actuaire projette la partie inférieure pour obtenir les paiements futurs.
Facteurs chain-ladder: Le facteur de développement de j à j+1 est fj = Σ_i C(i,j+1) / Σ_i C(i,j), calculé sur les années pour lesquelles les deux valeurs sont observées. Il s'agit d'une moyenne pondérée par les cumuls.
Charge ultime et provision: La charge ultime de l'année i est C(i,J) estimée = C(i,dernier observé) × produit des facteurs restants. La provision est la charge ultime moins les paiements cumulés déjà versés.
Bornhuetter-Ferguson: Pour les années récentes, on ajoute à ce qui est payé la part non encore développée d'une charge ultime a priori (plan d'affaires, taux de sinistres/primes). Le résultat est plus stable que chain-ladder pur lorsque les données sont rares.
Incertitude et modèle de Mack: Mack ne suppose pas de loi complète mais des moments : l'espérance conditionnelle proportionnelle au cumul précédent et une variance proportionnelle. Il donne l'erreur quadratique de prédiction du provisionnement.

Conclusion

Le provisionnement est l'exercice central de l'actuaire dommages : il détermine le passif et donc le résultat. Chain-ladder en est la méthode de référence, mais sa mécanique doit toujours être accompagnée d'un jugement sur les hypothèses.

BF et Mack rappellent qu'une provision est une estimation entourée d'incertitude, qu'il faut mesurer et documenter.

Cartes

Qu'est-ce qu'un triangle de développement ?: Un tableau de paiements cumulés par année de survenance (lignes) et année de développement (colonnes), observé seulement sur la partie supérieure.
Que signifie IBNR ?: Incurred But Not Reported : sinistres survenus mais non encore déclarés (et, par extension, développement tardif des déclarés).
Comment calcule-t-on fj en chain-ladder ?: fj = Σ C(i,j+1) / Σ C(i,j), sur les années où les deux cumuls sont observés.
Comment obtient-on la charge ultime d'une année ?: Dernier cumul observé × produit des facteurs de développement restants.
Comment obtient-on la provision pour une année ?: Charge ultime estimée - paiements cumulés déjà effectués.
Quelle hypothèse sous-tend chain-ladder ?: Les facteurs de développement sont stables d'une année de survenance à l'autre et le futur dépend proportionnellement du cumul actuel.
Quel est le point faible de chain-ladder ?: L'instabilité pour les années récentes : un faible cumul multiplié par un grand facteur amplifie le bruit.
Quel est le principe de Bornhuetter-Ferguson ?: Estimer la charge ultime comme paiements actuels + part non développée d'une charge a priori.
Pourquoi étudier l'incertitude du provisionnement ?: Parce que la provision est une estimation : il faut en mesurer l'erreur pour fixer les marges de prudence et le capital.
Quelle différence entre paiements cumulés et charges incurred ?: Les charges incurred incluent les provisions dossier à jour, les paiements cumulés non ; chain-ladder peut s'appliquer aux deux.

Glossaire

Année de survenance: Année où le sinistre est survenu, indépendamment de sa déclaration ou de son règlement.
IBNR: Charge de sinistres survenus non encore déclarés ou insuffisamment provisionnés.
Facteur de développement: Rapport entre cumuls de deux années de développement successives.
Charge ultime: Montant total prévu des sinistres d'une année de survenance une fois tous les règlements achevés.
Bornhuetter-Ferguson: Méthode mêlant une charge a priori et le développement observé.
Queue de développement: Facteur final tenant compte du développement au-delà du dernier point observé.