Crédibilité de Bühlmann et systèmes bonus-malus

Sciences actuarielles · Master 2

Tarification a posteriori : crédibilité de Bühlmann, bonus-malus et prise en compte de l'expérience.

Introduction

La tarification a priori attribue une prime à partir de critères observables (âge, région, véhicule). Mais deux assurés semblables peuvent présenter des risques différents ; l'expérience individuelle de sinistres apporte alors une information. La tarification a posteriori ajuste la prime en fonction de cette expérience.

La théorie de la crédibilité de Bühlmann propose une prime qui est une moyenne pondérée de l'expérience individuelle et de la moyenne du collectif : P = Z·X̄ + (1 - Z)·m. Le facteur de crédibilité Z = n/(n + k) croît avec la durée d'observation n, avec k = E[σ²(Θ)] / Var(μ(Θ)), rapport de la variabilité intra-risque à l'hétérogénéité entre risques.

Les systèmes bonus-malus, courants en assurance automobile, mettent en œuvre ce principe de manière simple : la prime baisse sans sinistre et augmente après un sinistre selon des échelons. Ils soulèvent des questions de stabilité du système, de comportement (non-déclaration de petits sinistres) et d'équité.

Objectifs d'apprentissage

Expliquer le principe de la crédibilité et le rôle de Z
Calculer la prime de Bühlmann à partir de k et de l'expérience observée
Interpréter la variance intra-risque et la variance inter-risques
Décrire le fonctionnement d'un système bonus-malus
Discuter ses effets sur le comportement de déclaration

Concepts clés

Hétérogénéité du portefeuille: Chaque assuré a un paramètre de risque Θ non observable. La prime idéale est μ(Θ) = E[X | Θ], inconnue ; on l'estime à partir de l'expérience X1, ..., Xn et de la moyenne du collectif m = E[μ(Θ)].
Prime de crédibilité de Bühlmann: P = Z·X̄ + (1 - Z)·m avec Z = n/(n + k) et k = E[σ²(Θ)]/Var(μ(Θ)). Plus l'expérience est longue (n grand) ou l'hétérogénéité forte (Var μ élevée), plus Z est proche de 1.
Variances du modèle: σ²(Θ) mesure la variabilité du sinistre d'un même assuré d'une année à l'autre ; Var(μ(Θ)) mesure les écarts structurels entre assurés. Un grand k signifie que l'expérience individuelle est très bruitée.
Bonus-malus: Le système classe les assurés dans des échelons : un échelon plus bas après une année sans sinistre (bonus), plus élevé après un sinistre (malus). La prime est le produit de la prime de base par un coefficient associé à l'échelon.
Effets et limites: Le bonus-malus incite à la prudence mais aussi à ne pas déclarer de petits sinistres (hunger for bonus). Il faut calibrer les transitions pour que le système converge vers une répartition stable et reste financièrement équilibré.

Conclusion

La crédibilité donne un cadre rigoureux pour combiner expérience individuelle et information collective. Le bonus-malus en est la forme opérationnelle simplifiée.

L'actuaire doit calibrer ces mécanismes en tenant compte du comportement des assurés et de l'équité du système.

Cartes

Qu'est-ce que la tarification a posteriori ?: Ajuster la prime selon l'expérience de sinistres de l'assuré, au-delà des critères a priori.
Quelle est la prime de Bühlmann ?: P = Z·X̄ + (1 - Z)·m : moyenne pondérée de l'expérience individuelle et de la moyenne du collectif.
Comment s'écrit le facteur de crédibilité ?: Z = n/(n + k).
Comment définit-on k ?: k = E[σ²(Θ)] / Var(μ(Θ)) : variabilité intra-risque sur hétérogénéité inter-risques.
Que se passe-t-il si n augmente ?: Z tend vers 1 : l'expérience individuelle prend plus de poids.
Que se passe-t-il si les risques sont presque homogènes ?: Var(μ(Θ)) est faible, k est grand, Z petit : on se fie à la moyenne du collectif.
Qu'est-ce qu'un bonus-malus ?: Un système d'échelons où la prime baisse sans sinistre et augmente après sinistre.
Quel effet pervers peut avoir un bonus-malus ?: Le renoncement à déclarer de petits sinistres pour conserver le bonus.
Qu'est-ce que la moyenne du collectif m ?: L'espérance E[μ(Θ)], prime moyenne applicable à un assuré pris au hasard.
La crédibilité peut-elle dépasser 1 ?: Non : Z = n/(n + k) est toujours compris entre 0 et 1.

Glossaire

Paramètre de risque: Variable aléatoire Θ non observable décrivant le profil de risque d'un assuré.
Facteur de crédibilité: Poids Z accordé à l'expérience individuelle dans la prime a posteriori.
Prime collective: Prime moyenne du portefeuille, point d'ancrage de la crédibilité.
Bonus-malus: Système de réduction ou de majoration de la prime selon les sinistres passés.
Antisélection: Tendance des mauvais risques à s'assurer davantage.
Hunger for bonus: Comportement consistant à ne pas déclarer de petits sinistres pour conserver son bonus.