# Croissance exponentielle et logistique des populations

Écologie & évolution · Bachelor 1

> Taux intrinsèque r, capacité de charge K, modèle logistique et effets densité-dépendants.

## Introduction

L'effectif d'une population varie sous l'effet de quatre processus : naissances, décès, immigration et émigration. Lorsque les ressources sont illimitées, la population croît de façon exponentielle : dN/dt = rN, où r est le taux intrinsèque d'accroissement. Ce modèle décrit bien la phase de colonisation d'un milieu, par exemple celle d'une espèce invasive comme la renouée du Japon ou d'une population réintroduite comme le lynx dans le Jura.

Aucun milieu ne peut soutenir une croissance exponentielle indéfinie. Le modèle logistique de Verhulst, repris par Pearl, introduit une capacité de charge K : dN/dt = rN(1 - N/K). Le taux de croissance par individu diminue linéairement avec la densité, et la population tend vers K. Cette densité-dépendance, due à la compétition intraspécifique, aux maladies ou à la prédation, est la base de la régulation des populations.

## Objectifs d'apprentissage

- Résoudre l'équation de croissance exponentielle Nt = N0·e^(rt)
- Interpréter r, K et le point d'inflexion de la courbe logistique
- Calculer le taux de croissance maximal (rK/4)
- Distinguer facteurs densité-dépendants et densité-indépendants
- Discuter les limites du modèle logistique, notamment les délais de réponse

## Concepts clés

- **Croissance exponentielle** : dN/dt = rN ; Nt = N0e^(rt). Le taux par individu r est constant, la population croît de plus en plus vite.
- **Modèle logistique** : dN/dt = rN(1-N/K). La croissance par individu décroît avec N ; l'effectif converge vers K de façon sigmoïde.
- **Taux de croissance maximal** : Dans le modèle logistique, la croissance absolue de la population est maximale à N = K/2, où dN/dt = rK/4.
- **Densité-dépendance** : Les facteurs dont l'intensité varie avec la densité (compétition, parasitisme) régulent la population, contrairement aux facteurs densité-indépendants (gel, inondation).

## Conclusion

Les modèles exponentiel et logistique sont les briques de base de la dynamique des populations. Ils permettent de quantifier la croissance, d'estimer des capacités de charge et de comprendre les limites des ressources.

Ils fondent la gestion de la faune en Suisse (plans de tir du cerf, suivi du loup et du lynx) où l'on cherche à anticiper la croissance de populations en expansion.

## Cartes

### Quelle est l'équation de la croissance exponentielle ?

dN/dt = rN, dont la solution est Nt = N0·e^(rt).

### Que représente r ?

Le taux intrinsèque d'accroissement par individu : r = naissances par tête - décès par tête (en l'absence de migration).

### Que représente K ?

La capacité de charge : effectif maximal que le milieu peut soutenir de façon durable avec les ressources disponibles.

### Écrire l'équation logistique.

dN/dt = rN(1 - N/K).

### Pour quel N la croissance absolue est-elle maximale ?

N = K/2 (point d'inflexion), avec dN/dt = rK/4.

### Que vaut dN/dt quand N = K ?

Zéro : la population est à l'équilibre.

### Donner deux facteurs densité-dépendants.

Compétition pour la nourriture ou le territoire, transmission de pathogènes, prédation.

### Donner un facteur densité-indépendant.

Une vague de froid, une inondation ou un incendie, qui tuent une proportion indépendante de la densité.

### Quelle est une limite du modèle logistique ?

Il suppose une réponse instantanée à la densité ; avec des délais, des oscillations ou le chaos peuvent apparaître.

## Glossaire

- **Taux intrinsèque d'accroissement** : Taux de croissance par individu en l'absence de limitation.
- **Capacité de charge** : Effectif maximal soutenable par le milieu.
- **Population ouverte** : Population qui reçoit ou perd des individus par migration.
- **Effet Allee** : Réduction du taux de croissance aux faibles densités.
- **Régulation** : Maintien de l'effectif autour d'un niveau par des facteurs densité-dépendants.
- **Temps de doublement** : Temps pour qu'une population exponentielle double : ln2 / r.

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