# Régression logistique et rapport de cotes ajusté Santé publique & épidémiologie · Master 1 > Modéliser une issue binaire: odds ratio, ajustement, interaction et qualité du modèle. ## Introduction Lorsque l'issue étudiée est binaire (malade ou non, décédé ou vivant), la régression logistique est l'outil de référence pour estimer l'association entre une exposition et l'issue en tenant compte de plusieurs variables à la fois. Le modèle ne prédit pas directement la probabilité, mais le logarithme de la cote de l'événement, ce qui garantit que les probabilités estimées restent entre 0 et 1. Le coefficient d'une variable est un logarithme de rapport de cotes; son exponentielle donne l'odds ratio (OR) ajusté sur les autres variables du modèle. Un OR de 1 indique l'absence d'association, un OR supérieur à 1 une cote augmentée. L'OR est le même que l'on conditionne sur l'exposition ou sur la maladie, ce qui rend possible son estimation dans les études cas-témoins. Lorsque l'événement est fréquent, l'OR s'éloigne du risque relatif et le surestime, et il ne doit pas être lu comme un risque. La construction d'un modèle exige des choix: quelles variables ajuster (à partir d'un cadre causal plutôt que de la seule significativité), comment traiter les variables continues, comment détecter une interaction (modification d'effet) ou une colinéarité, et combien de variables l'effectif autorise. La qualité se juge par la calibration et par la discrimination, résumée par l'aire sous la courbe ROC. ## Objectifs d'apprentissage - Calculer une cote et un rapport de cotes à partir d'un tableau 2×2 - Interpréter le coefficient et l'OR ajusté d'un modèle logistique - Expliquer pourquoi l'OR surestime le risque relatif quand l'événement est fréquent - Détecter une interaction et une colinéarité dans un modèle - Évaluer la calibration et la discrimination d'un modèle ## Concepts clés - **Cote et rapport de cotes** : La cote est le rapport entre la probabilité de survenue et la probabilité de non-survenue d'un événement: p/(1 − p). Le rapport de cotes compare les cotes de deux groupes. À partir d'un tableau 2×2, OR = (a × d) / (b × c). - **Modèle logistique** : Le modèle écrit logit(p) = ln(p/(1 − p)) = β0 + β1x1 + β2x2 + ... Chaque coefficient est un log-OR: l'exponentielle de β donne l'OR associé à une augmentation d'une unité de la variable, toutes les autres variables étant fixées. - **OR et risque relatif** : Quand l'événement est rare, l'OR approxime le risque relatif. Quand il est fréquent, l'OR est plus éloigné de 1 que le risque relatif; présenter un OR comme un « risque multiplié par » surestime alors l'effet. Des modèles de Poisson robustes ou binomiaux permettent d'estimer directement un risque relatif. - **Interaction et colinéarité** : Une interaction signifie que l'effet de l'exposition diffère selon une autre variable (par exemple le sexe); on l'examine par un terme produit et on rapporte des estimations stratifiées. La colinéarité entre variables très corrélées rend les coefficients instables et leurs intervalles larges. - **Évaluation du modèle** : La calibration compare probabilités prédites et fréquences observées (test de Hosmer-Lemeshow, graphiques). La discrimination est résumée par l'AUC. Une règle pratique réclame au moins une dizaine d'événements par variable candidate. La validation sur un échantillon indépendant limite le surajustement. ## Conclusion La régression logistique est un instrument central de l'épidémiologie moderne: elle ajuste simultanément sur plusieurs facteurs et fournit des OR interprétables. Son usage correct suppose de connaître les limites de l'OR comme substitut du risque relatif, de vérifier les interactions et la colinéarité, et de respecter la parcimonie permise par le nombre d'événements. Le jugement d'un modèle ne se limite pas à la significativité de ses coefficients: calibration, discrimination et validation externe sont des étapes indispensables avant toute utilisation à des fins de décision en santé publique ou clinique. ## Cartes ### Comment se calcule une cote ? p / (1 − p), où p est la probabilité de l'événement; par exemple p = 0,2 donne une cote de 0,25. ### Comment calcule-t-on un OR à partir d'un tableau 2×2 ? OR = (a × d) / (b × c), où a et b sont les exposés malades et non malades, c et d les non-exposés malades et non malades. ### Que signifie un OR de 1 ? Absence d'association entre l'exposition et l'issue: les cotes sont égales dans les deux groupes. ### Pourquoi l'OR est-il utilisable dans une étude cas-témoins ? Parce que le rapport de cotes d'exposition entre cas et témoins est identique au rapport de cotes de maladie entre exposés et non-exposés. ### Quel lien entre coefficient β et OR ? OR = exp(β): le coefficient est le logarithme népérien du rapport de cotes. ### Comment interpréter un OR ajusté de 1,8 pour le tabagisme ? À autres variables du modèle égales, la cote de l'issue est 1,8 fois plus élevée chez les fumeurs que chez les non-fumeurs. ### Quand l'OR se rapproche-t-il du risque relatif ? Lorsque l'événement est rare dans la population étudiée; sinon l'OR surestime l'effet par rapport au RR. ### Que représente un terme d'interaction ? Le fait que l'effet d'une variable dépend du niveau d'une autre; il s'ajoute au modèle sous forme d'un produit des deux variables. ### Quels problèmes pose la colinéarité ? Des coefficients instables avec de larges intervalles de confiance, car deux variables très corrélées portent presque la même information. ### Que dit la règle des « 10 événements par variable » ? Il faut environ dix événements (du groupe le moins fréquent) par variable candidate pour limiter le surajustement et l'instabilité. ### Que mesure l'AUC d'un modèle logistique ? La capacité du modèle à discriminer les sujets avec et sans événement; 0,5 équivaut au hasard, 1 à une discrimination parfaite. ### Différence entre calibration et discrimination ? La calibration compare risques prédits et observés; la discrimination mesure la capacité à ordonner correctement les sujets selon leur risque. ## Glossaire - **Cote (odds)** : Rapport entre la probabilité qu'un événement survienne et la probabilité qu'il ne survienne pas. - **Rapport de cotes (odds ratio)** : Rapport des cotes d'un événement entre deux groupes; mesure d'association à interpréter avec prudence quand l'événement est fréquent. - **Logit** : Logarithme de la cote; fonction de lien de la régression logistique. - **Variable d'ajustement** : Variable incluse dans un modèle pour contrôler son effet confondant sur l'association étudiée. - **Interaction (modification d'effet)** : Situation où l'association entre exposition et issue diffère selon le niveau d'une troisième variable. - **Colinéarité** : Forte corrélation entre variables explicatives qui rend l'estimation des coefficients instable. - **Surajustement** : Modèle trop adapté aux particularités de l'échantillon, qui prédit mal sur de nouvelles données. - **Aire sous la courbe ROC** : Mesure de discrimination d'un modèle, probabilité qu'un sujet avec événement ait un risque prédit supérieur à un sujet sans événement. https://ruvy.ch/decks/-P5COtFFPu_6j0DtR9pj